☛ Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Propriétés

• La fonction cosinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel \(x\) , on a \(\cos'(x)=-\sin(x)\) .
  
• La fonction sinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel \(x\) , on a \(\sin'(x)=\cos(x)\) .
  

Énoncé

Étudier les variations de la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par `f(x)=x-\sin(x)` .

Solution

`f`  est dérivable sur `\mathbb{R}`  et, pour tout réel \(x,\ f'(x)=1-\cos(x)\) .
Pour tout réel \(x,\cos(x) \leqslant 1\)  donc \(1-\cos(x) \geqslant 0\) .
Pour tout réel \(x, f'(x)\geqslant 0\)  donc \(f\)  est croissante sur \(\mathbb{R}\) .